Material de apoio para Avaliação 1° A

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

·         a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.

·         a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a₄ na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

·         Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.

·         Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.

·         Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Fórmula do Termo Geral

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

a_n = a₁ + (n - 1) . r Onde,

a_n : termo que queremos calcular
 a₁: primeiro termo da P.A.
 n: posição do termo que queremos descobrir
 r: razão

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução

Primeiro, devemos identificar que a₁ = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

a_n = a₁ + (n - 1) . r
 a₁₀ = 26 + (10-1) . 5
 a₁₀ = 26 + 9 .5
 a₁₀ = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A 

A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

Nessa fórmula, Sn representa a soma dos termos, a1 é o primeiro termo e an é o último termo da PA em questão, n é o número de termos que serão somados. Para somar os termos de uma progressão aritmética, basta substituir os valores nessa fórmula.

EXEMPLO:

Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA a seguir: (5, 10, 15, …).

Note que essa PA é infinita, isso é evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros termos, o 50º termo será representado por a50. Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula do termo geral da PA:
 

Nessa fórmula, r é a razão da PA. Substituindo os valores dados no enunciado nessa fórmula, teremos:

Sabendo que o 50º termo é 250, podemos usar a fórmula da soma dos termos para obter a soma dos 50 primeiros termos (S50) dessa PA:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G)

Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4

4 . 2 = 8

8 . 2 = 16

16 . 2 = 32

32 . 2 = 64

64 . 2 = 128

128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

 

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Onde:

a_n: número que queremos obter
 a₁: o primeiro número da sequência
 q^(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

a₂₀ = 2 . 2^(20-1)

a₂₀ = 2 . 2¹⁹

a₂₀ = 1048576

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G



EXEMPLO:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

Material de orientação para Avaliação 2° A e B

MATERIAL DE APOIO PARA AVALIAÇÃO 


O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.

Radianos do Círculo Trigonométrico

A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).

·         1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.

·         1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.

Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:

·         π rad = 180°

·         2π rad = 360°

·         π/2 rad = 90°

·         π/3 rad = 60°

·         π/4 rad = 45°

Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.

Exemplo 1: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?

π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad

Exemplo 2: Para transformar a medida de radianos para graus, basta substituir o π por 180°:

x = 2 π
      7

x = 2.180
      7

x = 360
      7

x = 51,43°

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:

FIGURA

·         1.° Quadrante: 0º

·         2.° Quadrante: 90º

·         3.° Quadrante: 180º

·         4.° Quadrante: 270º

Círculo Trigonométrico e seus Sinais

De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.

Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.

Para compreender melhor, veja a figura abaixo:

Como Fazer o Círculo Trigonométrico?

Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.

Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.

Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa

Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo classificadas em seis maneiras:

Seno (sen)

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan)

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

AMPLITUDE E PERÍODO (Assista o vídeo)



https://www.youtube.com/watch?v=pzn8QayaURk&t=2230s

Material de orientação para Avaliação 9° Ano A e B

NÚMEROS IRRACIONAIS

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

Interessante notar que a descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1.

Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras.

A medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico.

Por mais que tentemos encontrar um valor exato, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 12 casas decimais essa raiz pode ser escrita como:

√2 = 1,414213562373....

Alguns exemplos de irracionais:

·         √3 = 1,732050807568....

·         √5 = 2,236067977499...

·         √7 = 2,645751311064...

PRESTE ATENÇÃO: Diferente dos números irracionais, as dízimas periódicas são números racionais. Apesar de apresentarem uma representação decimal infinita, podem ser representados por meio de frações.

A parte decimal que compõe uma dízima periódica apresenta um período, ou seja, possui sempre a mesma sequência de repetição.

Por exemplo, o número 0,3333... pode ser escrito na forma de fração irredutível, pois:

0,33333=1/3

Portanto, as dízimas periódicas não são números irracionais.

CURIOSIDADES: Número Pi (p)

Identificado como um dos irracionais mais famosos, o número pi é o resultado da divisão entre o perímetro de uma circunferência e seu próprio diâmetro, sendo o valor aproximado igual a 3,14. 

Número de Neper (℮)

Também conhecido como constante exponencial, o número de Neper serve de base para os logaritmos naturais. Irracional e da categoria transcendente, seu valor aproximado é de 2,718281.

Número Áureo (F)

Também chamado de número de ouro, é uma constante algébrica simbolizada pela letra grega Phi. Com valor aproximado igual a 1,61803, tornou-se foco de estudo da matemática por ser usado desde a Antiguidade em vertentes artísticas, especialmente nas pinturas renascentistas. Além disso, acredita-se que o número mantém relações com os elementos da natureza. 

Você sabia? 

• As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre irracionais podem resultar em valores racionais. Exemplos: √2 + (1 – √2) = 1; √6.√6 = √36 = 6; √10/√2 = 5. 

• O número transcendente áureo (número de Euler) também surge da relação numérica presente na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...). Assim, começando pelo 1, essa sequência é formada somando cada numeral com o numeral que o antecede. No caso do 1, repete-se esse numeral e soma-se, ou seja, 1 + 1 = 2.

De seguida soma-se o resultado com o numeral que o antecede, ou seja, 2 + 1 = 3 e assim sucessivamente, numa sequência infinita:

3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é paralela a s”), e também uma reta transversal t que intercepte r e s, haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir, identificamos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.

A interseção da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ângulos a, b, c, d, e, f, g, h

Experimente fazer um desenho semelhante a esse que foi mostrado de duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Ao finalizar seu desenho, divida-o ao meio, cortando-o entre as retas paralelas. Se você colocar os ângulos formados pelas retas s e t exatamente em cima dos ângulos formados pelas retas r e s, observará que eles são exatamente iguais.

Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os ângulos externos estão na faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.

 

Os ângulos podem ser classificados como internos ou externos, e dois ângulos podem ser colaterais ou alternos

Sabendo que os ângulos formados pelas retas r e t são iguais aos formados pelas retas s e t, podemos afirmar que os pares de ângulos abaixo são correspondentes:

·         a e e

·         b e f

·         c e g

·         d e h

Estes pares de ângulos colaterais correspondentes, acima mencionados, possuem a mesma medida. Mas sabemos que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, também possuem a mesma medida. Então, podemos dizer que:

·         a = c = e = g

·         b = d = f = h

Os ângulos d e f e também e e c podem ser classificados como ângulos alternos internos, pois estão na região interna e em lados alternados. Os ângulos d e e, bem como os c e f, podem ser classificados como ângulos colaterais internos, uma vez que estão na região interna e do mesmo lado em relação à reta t.

Semelhantemente, os ângulos a e h, assim como b e g, são ângulos colaterais externos, pois estão na região externa e do mesmo lado em relação à reta t. Assim como os ângulos a e g, bem como b e h, são ângulos alternos externos, pois estão na região externa e em lados alternados em relação à reta transversal t.

Na figura a seguir, podemos ver claramente os ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e colaterais externos formados através de duas retas paralelas cortadas por uma transversal:

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e colaterais externos

Teorema de Tales

O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais.

O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.

O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.

Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.

O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença:

“a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.”

Exemplo

Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:

Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:

Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.

EXEMPLO:

EXERCÍCIO a: