Material de apoio para Avaliação 1° A

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

·         a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.

·         a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a₄ na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

·         Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.

·         Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.

·         Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Fórmula do Termo Geral

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

a_n = a₁ + (n - 1) . r Onde,

a_n : termo que queremos calcular
 a₁: primeiro termo da P.A.
 n: posição do termo que queremos descobrir
 r: razão

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução

Primeiro, devemos identificar que a₁ = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

a_n = a₁ + (n - 1) . r
 a₁₀ = 26 + (10-1) . 5
 a₁₀ = 26 + 9 .5
 a₁₀ = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A 

A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

Nessa fórmula, Sn representa a soma dos termos, a1 é o primeiro termo e an é o último termo da PA em questão, n é o número de termos que serão somados. Para somar os termos de uma progressão aritmética, basta substituir os valores nessa fórmula.

EXEMPLO:

Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA a seguir: (5, 10, 15, …).

Note que essa PA é infinita, isso é evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros termos, o 50º termo será representado por a50. Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula do termo geral da PA:
 

Nessa fórmula, r é a razão da PA. Substituindo os valores dados no enunciado nessa fórmula, teremos:

Sabendo que o 50º termo é 250, podemos usar a fórmula da soma dos termos para obter a soma dos 50 primeiros termos (S50) dessa PA:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G)

Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4

4 . 2 = 8

8 . 2 = 16

16 . 2 = 32

32 . 2 = 64

64 . 2 = 128

128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

 

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Onde:

a_n: número que queremos obter
 a₁: o primeiro número da sequência
 q^(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

a₂₀ = 2 . 2^(20-1)

a₂₀ = 2 . 2¹⁹

a₂₀ = 1048576

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G



EXEMPLO:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.